من پت هستم

آنان به او گفتند:«ای استاد، این زن را درحین عمل زنا گرفته‌ایم. موسی در تورات به ما دستور داده است که چنین زنان باید سنگسار شوند. اما تو در این باره چه می‌گویی؟»

آنان از روی امتحان این را گفتند تا دلیلی برای اتهام او پیدا کنند. اما عیسی سر به زیر افکند و با انگشت خود روی زمین می‌نوشت. ولی چون‌ آنان با اصرار به سوال خود ادامه دادند، عیسی سر خود را بلند کرد و گفت:‌«آن کسی که در میان شما بی‌گناه است سنگ اول را به او بزند.»

عیسی باز سر خود را به زیر افکند و بر زمین می‌نوشت. وقتی آن‌ها این را شنیدند، از پیران شروع کرده یک به یک بیرون رفتند و عیسی تنها با آن زن که در وسط ایستاده بود، باقی ماند.

عیسی سر خود را بلند کرد و گفت:«آن‌ها کجا رفتند؟ کسی ترا محکوم نکرد؟» زن گفت:«هیچ‌کس آقا.»عیسی گفت:«من هم تو را محکوم نمی‌کنم، برو و دیگر گناه نکن»

«انجیل یوحنا فصل ۸»

من در خصوص تئوری‌های سیاسی و جامعه‌شناسانه عملا یک آدم کاملا بی‌سواد هستم. نه این‌که در بقیه‌ی موارد سواد خاصی داشته باشم، بلکه در این دو مورد خاص کاملا بی‌سوادم و حتی از ادبیات ساده‌ترین مباحث سیاسی و جامعه‌شناسانه هم بی‌اطلاعم. حالا این حرف را زدم که اگر حرف‌هایم در نظر اساتید فن بسیار مضحک و خنده‌دار آمد، خیلی بر من خورده نگیرند که خود دانم که عرصه‌ی سیمرغ جولانگاه ما نیست.

چند روز گذشته با تعدادی از دوستان بحث بر سر این مساله بود که آیا یک سیستم دموکراسی محض بی‌نیاز از حاکمان و مجریان صالح است و یا خیر؟ نظر اکثر دوستان بر این بود که در یک دموکراسی محض نیاز حاکم و مجری صالح، متعهد و عادل بر طرف می‌شود و این نکته را هم از مزایای دموکراسی می‌دانستند. من شخصا مخالف این نظر هستم. از لحاظ تئوری می‌توان نشان داد که یک سیستم مبتنی بر رای‌گیری نقاط پایداری وجود دارند که با وجود ناعدلانه و تبعیض‌آمیز بودن باز هم رای می‌آورند. البته منظور من از این گونه نقاط چیزی فراتر از حالت معروف دیکتاتوری اکثریت است.

منظور اصلی من از باز کردن این بحث، بیان حالتی است که حاکم با انتخاب استراتژی مناسب، به نحوی عمل کرده که تقریبا تمام قدرت و امکانات جامعه را تصاحب می‌کند و مخالفان بی‌عدالتی حاکم، موفق به کسب اکثریت لازم برای برکناری حاکم خودکامه نمی‌شوند.

ادامه در قسمت دوم. (قبل از ادامه‌ی بحث، ترجیح می‌دهم کمی نظر بقیه را هم بشنوم)

بعد از پایان تحصیلاتش برای ارشاد و راهنمایی مردم به محل زندگی‌اش بازگشت. چند ماهی در کسوت روحانیت به مردم خدمت می‌کرد. تا اینکه زنی برای پرسش مساله‌ای که برایش پیش آمده‌بود پیش وی می‌رود. از وی می‌پرسد که «فضله‌ی موشی داخل روغن محلی که حاصل چند ماه زحمت و تلاش‌ام بود، افتاده است، آیا روغن نجس است؟» مرد با وجود اینکه می‌دانست روغن نجس است، ولی اینرا هم می‌دانست که حاصل چند ماه تلاش این زن روستایی، خرج سه چهار ماه خانواده اش را باید تامین کند، به زن گفت نه همان فضله و مقداری از اطراف آنرا در بیاورد و بریزد دور،روغن دیگر مشکلی ندارد.بعد از این اتفاق بود که مرد علی‌رغم فشارهای اطرافیان، نتوانست تحمل کند که در کسوت روحانیت باقی بماند. این اقدام به طرد وی از خانواده نیز منجر شد.

اگر گفتید این مرد کی بوده؟ وفتی این سطرها را در زندگی‌نامه‌ی حسین پناهی می‌خواندم، بد جوری جا خوردم. تازه فهمیدم چرا این‌قدر بازی‌های این آدم، این طور به دل و جان من می‌نشست. خدایش چند مرد مثل این مرد میان ما وجود داره؟

خوب در قسمت قبلی جواب مساله را گفتم و یکی دو شبهه‌ی جدید مطرح کردم. توی این پست جواب قبلی را کمی کامل‌تر خواهم کرد و سعی خواهم کرد که شبها‌ت پست قبلی را تا حدی بر طرف کنم.

حل این مساله در حقیقت به کمک استقرا امکان پذیر است. در استقرا اگر بتوانیم مساله را برای یک عدد مثلا k=1 و یا k=2 (پایه‎ی استقرا) حل کنیم، و پس از آن با فرض دانستن جواب مساله برای k (فرض استقرا) بتوانیم جواب مساله برای k+1 (حکم استقرا) هم پیدا کنیم، در حقیقت مساله را برای همه‌ی حالت‌های ممکن ( البته ممکن و بزرگتر از پایه‌ی استقرا) حل کرده‌ایم. حالا برگردیم سر مساله‌ی خودمان و راه حلش.

حالا فرض کنبد اگر k نفر با کلاه سفید در جلسه وجود داشته باشند، افراد حاضر در جلسه بین k-1امین و kامین باری که پادشاه دست می‌زند متوجه رنگ کلاه خود خواهند شد (قبلا نشان داده‌ایم که این فرض برای k=1 و k=2 درست است). حالا با در نظر گرفتن این فرض بیایید حالتی را بررسی کنیم که k+1 نفر با کلاه سفید در جلسه حاضرند.

حالا برای سادگی فرض کنید که شما یک کلاه سفید هستید. در این حالت شما k کلاه سفید در جلسه می‌بینید (هنوز هم از رنگ کلاه خودتان بی‌خبرید) ، بنابراین با توجه به فرض پاراگراف بالا، انتظار دارید اگر کلاه‌تان سیاه باشد، کلاه سفیدها بتوانند رنگ کلاهشان را پس از k-1امین باری که پادشاه دست می‌زند تشخیص بدهند، ولی خوب همچین اتفاقی نمی‌افتد، بنابراین شما و تمام کلاه سفیدها پس از k-1امین دست پادشاه متوجه سفید بودن رنگ کلاه‌تان خواهید شد و پس از کلاه سفیدها، کلاه سیاه‌ها هم متوجه رنگ کلاه‌شان خواهند شد.

اگر فکر می‌کنید استدلال بالا بیش از حد پیچیده است و قرار نیست که به درستی کار کند بیایید با یک مثال آن را واضح‌تر کنیم. فرض کنید k=3 است. اگر شما کلاهتان سفید باشد، ۲ نفر را با کلاه سفید می‌بینید، پس انتظار دارید که اگر فقط این ۲ نفر با کلاه سفید باشند، پس از بار اولی که پادشاه دست می‌زند باید بتوانند رنگ کلاهشان را تشخیص بدهند، ولی هنگامی که پادشاه برای بار دوم هم دست می‌زند و شما می‌فهمید که کلاه خودتان هم سفید بوده‌است. به همین ترتیب برای k=4 و k=5 و … هم می‌توان این استدلال را ادامه داد.

مطلب دیگری که توجه به آن می‌تواند جالب باشد، مساله‌ی آن یک بیتی است که در قسمت دوم به آن اشاره کردیم. هر فرد نیاز به یک بیت اطلاعات دارد که بتواند جانش را نجات بدهد. امکان دارد که این سوال پیش بیاید که افراد از کجا  این یک بیت دانش  را بدست می‌آورند. از آنجایی که اگر فردی در جلسه باشد و k کلاه سفید ببیند، می‌داند که پادشاه حداقل k-1 بار دست خواهد زد، پس شنیدن این دست‌ها برایش اطلاعاتی در بر ندارد، ولی پس از بار k-1 ام، دو حالت امکان وقوع دارد، یکی دیدن شادی کلاه سفیدها و یا شنیدن صدای یک دست زدن دیگر که رفع این ابهام (دیدن شادی و یا صدای دست) می‌تواند یک بیت ازطلاعاتی را به هر فرد بدهد که جانش فرد در گرو آن است. و اما آخرین نکته گفته بودم که برای توصیف شرایط (رنگ کلاه‌ها) در حدود N بیت اطلاعات نیاز داریم و سوال این است که چرا حدود N بیت و نه دقیقا N بیت؟ N بیت می‌تواند ۲ به توان N حالت را توصیف کند ولی در این بازی ما یک حالت کم‌تر از این تعداد داریم و برای همین اندکی کمتر از N بیت اطلاعات نیاز داریم.

توی این پست قرار است که جواب معمای قسمت اول را با کمک هم پیدا کنیم

فرض کنید از N نفر حاضر در جلسه، k نفر با کلاه سفید حاضر شده باشند. حالا بیایید شرایط را از دید یکی از نخبگان حاضر در جلسه نگاه کنیم. اگر k نفر با کلاه سفید در جلسه حاضر باشند،  خیلی ساده می‌توان قبول کرد که هر شرکت کننده یا k نفر را با کلاه سفید می‌بیند (در صورتی که کلاه خودش سیاه باشد) و یا k-1 نفر را با کلاه سفید می‌بیند (در صورتی که کلاه خودش سفید باشد). حالا ببینیم که به ازا هر مقدار k چه اتفاقی می‌افتد.

در صورتی که k=1 باشد: فقط یک فرد کلاه سفید وجود دارد. تمام افرادی را که  فرد کلاه سفید می‌بیند کلاه سیاهند و از آنجایی که  این فرد می‌داند حداقل یک فرد کلاه سفید وجود دارد به سادگی می‌فهمد که کلاه خودش سفید است و این را به پادشاه اعلام می‌کند. هر فرد دیگر (که کلاهش سیاه است) چون فقط یک نفر را با کلاه سفید می‌بینند، می‌فهمند که یا یک نفر با کلاه سفید است و یا دو نفر ( چون هنوز رنگ کلاهش را نمی‌داند). با مشاهده‌ی خوشحالی فرد کلاه سفید، این گونه افراد (کلاه سیاه‌ها) هم متوجه سیاه بودن رنگ کلاهشان می‌شوند و همگی به خوبی و خوشی از اعدام رها می‌شوند.

در صورتی که k=2 باشد: در این حالت افراد کلاه سفید هر کدام یک فرد دیگر را با کلاه سفید می‌بینند. ولی چون رنگ کلاه خودشان را نمی‌دانند منتظر واکنش آن نفر دیگر می‌مانند. در هنگامی که برای اولین بار پادشاه دستانش را برهم می‌زند. هر کدام از کلاه سفیدها چون که واکنشی از جانب یک کلاه سفید دیگر ندیده است می فهمد که حتما آن فرد هم یک کلاه سفید می‌دیده‌ایست، یعنی خودش هم باید کلاه سفید باشد. وقتی که این دو نفر به پادشاه رنگ کلاه‌شان را اعلام می‌کنند کلاه سیاه‌ها هم می‌فهمند که کلاه خودشان سفید نیست و در نتیجه سیاه است.

خوب بررسی سایر موارد k هم که به نظر می‌رسد که زیاد سخت نباشد و از آنجایی که k نمی‌تواند از N بزرگ‌تر باشد، سرانجام پس از تعداد متناهی دست زدن پادشاه، می‌توانیم خاطر جمع باشیم که این نخبگان ما متوجه رنگ کلاهشان خواهند شد.

خوب مساله‌ی ساده‌ای بود نه؟ حالا بیایید کمی با دید علمی هم به این مساله نگاه کنیم. اگر فرض کنیم که کلاه‌ها با احتمال ۱/۲ به رنگ سفید و به احتمال ۱/۲ به رنگ سیاه بر سر افراد گذاشته شده‌اند و از آنجایی که N نفر در جلسه هستند، برای این‌که یک نفر رنگ کلاه همه را بداند تقریبا نیاز به N بیت اطلاعات دارد (چرا تقریبا N بیت و نه دقیقا N بیت؟). هر شرکت کننده در جلسه با نگاه کردن به کلاه بقیه، از حدود N-1 بیت اطلاعات مورد نیاز با خبر می‌شود و می‌ماند یک بیت ابهام.  که البته با بر طرف شدن همین یک بیت هم هست که هر فرد می‌تواند جانش را از دست پادشاه گالیگولا نجات بدهد. از آن‌جایی که تا پایان جلسه کسی با کسی حرف نمی‌زند افراد از کجا آن یک بیت اطلاعات مورد نیازشان را می‌فهمند؟

فرض کنید N نفر از نخبگان گالیگولا (+ و +) (مثلا ۱۰ نفر) قرار است که در جلسه‌ی دیدار با نخبگان پادشاه گالیگولا شرکت کنند. قبل از ورود هر فرد به مکان جلسه به دستور پادشاه، کلاهی بر روی سر او گذاشته می‌شود، که این کلاه یا سفید است و یا سیاه. و البته این کلاه‌ گذاشتن‌ها به نحوی است که هیچ کس رنگ کلاه خودش را نمی‌فهمد ولی به همه‌ی افراد گفته می‌شود که حداقل یکی  از افراد حاضر در جلسه با کلاه سفید حاضر خواهد شد.

با وارد شدن افراد به جلسه، هر کسی می‌تواند با دیدن کلاه بقیه‌ی افراد رنگ کلاه بقیه را بفهمد، ولی به دستور پادشاه اجازه ندارد که کلاه خودش را  بردارد و ببیند، از بقیه هم نمی‌تواند بپرسد وگرنه پادشاه خدمتش می‌رسد!!

تا این‌جا مشکلی وجود ندارد. از حس فضولی که بگذریم، این نخبگان مشکلی با ندانستن رنگ کلاهشان نداشتند. ولی ناگهان پادشاه بلند ‌شد و ‌گفت که هر کس که رنگ کلاهش را نداند اعدام خواهد شد!! من چندین بار دستان مبارکم را به هم خواهم زد، پس از هر بار دست زدن هر کس رنگ کلاهش را فهمید، بگوید و جانش را نجات دهد.

همه حاضرین به هم نگاه می‌کنند … پادشاه برای بار اول دستانش را بهم می‌کوبد، صدا در سالن می‌پیچد، و سکوت …، چند دقیقه‌ی بعد بار دیگر پادشاه دستانش را بر روی هم می‌کوبد و …چند باری که می‌گذرد ناگهان همه‌ی نخبگان، لبخند زنان بلند می‌شوند و پس از کسب اجازه از پادشاه رنگ کلاهشان را به درستی به پادشاه می‌گویند.

خوب به نظر شما این نخبگان چگونه رنگ کلاه‌های‌شان را فهمیدند و جانشان را نجات دادند؟
اگر شما هم میان جلسه بودید، چه اتفاقی می‌افتاد؟ شما هم نجات پیدا می‌کردید؟ و اصلا نجات پیدا کردن و یا نجات پیدا نکردن شما تاثیری در سرنوشت بقیه هم داشت؟

(مساله زیر یک مساله‌ی کلاسیک و نسبتا معروف است برای همین اگر قبلا هم آن را نشنیده‌اید، با کمی جستجو در وب می‌توانید آن را پیدا کنید D: )

پس نوشت: در حل این مساله نه قرار نیست کسی تقلب بکنه و یا یواشکی کاری انجام دهد. در ضمن دوستی تذکر داد که این مساله با این فرضیات جواب قطعی ندارد. برای رفع این مشکل لازم است که یک مجموعه فرض به صورت زیر به مساله اضافه کنیم

۱-هر فرد شرکت کننده در جلسه به اندازه‌ی کافی باهوش است
۲- هر فرد شرکت کننده در جلسه می‌داند که سایر افراد شرکت کننده هم باهوش هستند.
۳- هر فرد شرکت کننده در جلسه می‌داند که سایر افراد شرکت کننده هم می دانند که سایر افراد شرکت کننده می‌دانند که سایر افراد شرکت کننده هم باهوش هستند
۴- هر فرد شرکت کننده در جلسه می‌داند که سایر افراد شرکت کننده هم می دانند که سایر افراد شرکت کننده می‌دانند که سایر افراد شرکت کننده می‌دانند هم باهوش هستند
۵- …